DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Oleh :

Andika Agung (D311010)

Khoirun Niamah (D311011)

Muhammad Nur Kholis Nasution (D311009)

Definisi Distribusi Hipergeometrik

Peluang Hipergeometrik digunakan untuk kasus di mana peluang BERHASIL  berkaitan dengan peluang GAGAL serta ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek  (BERHASIL dan GAGAL).

Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

                                       untuk x = 0,1,2,3...,k                          

Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :           

 Rata-rata =                      

 Ragam =

Perluasan Distribusi Hipergeometrik

Bila N benda dapat dikelompokan dalam k sel A1, A2, …, Ak masing-masing berisi a1, a2, …, ak benda, maka distribusi peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyaknya benda ( anggota) yang terambil dari A1, A2, …, Ak dalam suatu sampel acak ukuran n ialah

Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas

       

dan perhatikan bahwa                

N : ukuran populasi atau ruang contoh

n  : ukuran contoh acak

k  : banyaknya penyekatan atau kelas

xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh

ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial : 

•           Binomial à untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)

•           Hipergeometrik à untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)

Contoh Soal

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih.  Berapa peluang a). terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak dengan pemulihan? b). terambil 2 bola Merah, dari 4 kali  pengambilan yang dilakukan secara  acak tanpapemulihan?

Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :

            p = 2/5 = 0.40              n = 4                x = 2

            b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik

            N = 5               n = 4                k = 2                x = 2

            N-k = 3            n-x=2

       h(2; 5, 4,2)  = 

distribusi normal

TUGAS  PROBSTAT
oleh: 
Andika Agung
Khoirun Niamah
Muhammad Nur Kholis Nasution

DISTRIBUSI  NORMAL

Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Banyak peristiwa atau kejadian di alam yang memiliki karakteristik seperti yang di modelkan pada distribusi normal ini. Distribusi ini mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Pada hakikatnya proses kejadian di alam dengan berbagai macam pengukuran menunjukkan gejala normal sebagaimana berlakunya Hukum Bilangan Besar (Law of Large Numbers), dimana kejadian di alam dan perilaku manusia beraneka ragam, namun demikian satu sama lain pada dasarnya akan saling menyesuaikan. Dengan hukum bilangan besar tersebut, peristiwa atau kejadian dapat saling mengimbangi sehingga grafik dari kejadian berbentuk simetris, sisi kanan dan kiri saling melingkupi.

Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi (μ) dan standar deviasi (σ).

Fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal diberikan dalam rumus berikut:

KARAKTERISTIK  DISTRIBUSI  KURVA  NORMAL

Gambar 1: Karaktersitik distribusi kurva normal

1.      Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)

2.      Kurva berbentuk simetris

3.      Kurva normal berbentuk asimptotis

4.      Kurva mencapai puncak pada saat X= m

5.      Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

CIRI - CIRI  DISTRIBUSI  NORMAL

1.      Memiliki parameter µ dan σ yang masing masing menentukan lokasi dan bentuk distribusi

2.      Kurvanya mempunyai puncak tunggal

3.      Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata

4.      Total luas daerah di bawah kurva normal adala 1 (hal ini berlaku untuk seluruh distribusi probabilitas kontinu)

5.      Kedua ekor kurva memanjang tak berbatas dan pernah memotong sumbu horizontal

6.      Kurvanya berbentuk seperti lonceng atau genta

7.      Simpangan baku atau standar deviasi σ menentukan lebarnya kurva. Makin kecil σ bentuk kurva semakin runcing.

JENIS - JENIS DISTRIBUSI NORMAL

A.    Nilai Rata-Rata

B.     Standar Deviasi

GRAFIK  KURVA  NORMAL

·         P(x≤m) = 0,5

·         P(x ≥m) = 0,5

LUAS KURVA NORMAL

BEBERAPA HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN DALAM PROSES  PEMBANDINGAN  BENTUK  KURVA.

A.    Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata sama dan standar deviasi berbeda. Semakin besar standar deviasi, maka kurva akan semakin pendek. Semakin tinggi nilai standar deviasi, maka kurva akan semakin runcing.

B.     Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi sama. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yang sama, akan tetapi letaknya yang akan berbeda.

C.     Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi yang berbeda. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yangberbeda sama sekali.

PERHITUNGAN DISTRIBUSI NORMAL

§  Transformasi nilai x menjadi nilai z - score

§  Z = x - m / s

§  Gambar distribusi normal

§  Tentukan nilai z

§  Cari nilai p

Nilai luas kurva normal untuk nilai Z > 0 (positif)

CONTOH SOAL :

1.    Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a.       < 200 mg %

b.      > 250 mg %

c.       antara 200 –275 mg %

Jawab :

Ilustrasi dari soal tersebut di atas ditunjukkan dalam Gambar berikut :

Untuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus fungsi probabilitas distribusi normal. Karena nilai probabilitas yang dibutuhkan adalah pada rentang nilai x tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk menghitungnya.

a. P (<200 mg) =

b.  P (> 250 mg) = 

c. P(200< x <275) =